If the radius of cylinder is halved and height is doubled, then what will be the curved surface area? (যদি একটি বেলনের (সিলিন্ডার) ব্যাসার্ধ অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হয়, তবে তার বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত হবে?)

বেলন (Cylinder)

কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়। সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়। আয়তক্ষেত্রের অক্ষের সমান্তরাল ঘূর্ণায়মান বাহুটিকে বেলনের সৃজক বা উৎপাদক রেখা বলে।

উপরের, চিত্রটি একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h

১. ভূমির ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

২. বজ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা= $2\pi rh$

৩. সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\left(\pi r^2+2\pi rh+\pi r^2\right)=2\pi r(r+h)$

৪. আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩০. একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে এর আয়তন এবং সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ এর আয়তন $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩১. ঢাকনাসহ একটি বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.। বাক্সটির ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 262 বর্গ সে. মি. এবং বাক্সের পুরুত্ব সমান।

ক) বাক্সটির আয়তন নির্ণয় কর।

খ) বাক্সটির দেওয়ালের পুরুত্ব নির্ণয় কর।

গ) বাক্সটির বৃহত্তম দৈর্ঘ্যের সমান বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) বাক্সটির বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.$\therefore$ বাক্সটির বাইরের আয়তন 10 × 9 × 7 = 630 ঘন সে.মি.।

খ) মনে করি, বাক্সের পুরুত্ব . ঢাকনাসহ বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.

$\therefore$ বাক্সের ভিতরের মাপ যথাক্রমে a = (10 – 2x) সে.মি., b = (9 – 2x) সে.মি,

এবং c = (7 – 2x) সে.মি.

বাক্সের ভিতরের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2 (ab + bc + ca)

প্রশ্নানুসারে, 2(ab + bc + ca) 262

বা, (10 - 2x) (9 - 2x) + (9 - 2x) (7 - 2x) + (7 - 2x) (10 — 2x) = 131

বা, $90-38x+4x^2+63-32x+4x^2+70-34x+4x^2-131=0$

বা, $12x^2–104x+92=0$

বা, $3x^2– 26x+23=0$

বাক্সটির পুরুত্ব তার বাইরের তিনটি পরিমাপের কোনটির চেয়েই বড় হতে পারে না।

নির্ণেয় বাক্সের পুরুত্ব 1 সে.মি.